Алгебра

Решение кубических уравнений методом Горнера

Если не удается решить кубическое уравнение группировкой, то можно попробовать разложить многочлен на множители по схеме Горнера. Разберем на примере:

Дано уравнение

x3 + 6x2 - 25x + 18 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 18 являются ±1, ±2, ±3, ±6, ±9, ±18.

Подставим число 1: 1 + 6 - 25 + 18 = 0. Мы выяснили, что число 1 является корнем уравнения. Если бы делитель 1 не подошел, то мы бы проверяли все делители, пока не нашли тот, который бы являлся корнем.

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 1, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

1 6 -25 18
1

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

1 6 -25 18
1 1
Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
1 6 -25 18
1 1 7
1 ∙ 1 + 6 = 7
1 6 -25 18
1 1 7 -18
1 ∙ 7 - 25 = -18
1 6 -25 18
1 1 7 -18 0
1 ∙ (-18) + 18 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

x3 + 6x2 - 25x + 18 = (x - 1)(x2 + 7x - 18)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

x2 + 7x - 18 = 0
D = b2 - 4ac = 72 - 4 ∙ 1 ∙ (-18) = 121
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

x1,2 =  
-b ± √
D
 =  -7 ± 11  = -9; 2
2a 2∙1

Мы нашли все корни уравнения:

x = 1; 2; -9

Комментарии

comments powered by HyperComments