Алгебра

Разложение многочлена на множители по схеме Горнера

Многочлен вида
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0
можно разложить на множители по схеме Горнера, если известен хотя бы 1 его корень.

Разберем деление по схеме Горнера на примере:

2x4 + 9x3 - 10x2 - 27x - 10

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 9 - 10 - 27 - 10 = -36 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 - 9 - 10 + 27 - 10 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является -1, а значит исходный многочлен должен делиться на x + 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

2 9 -10 -27 -10
-1

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень -1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

2 9 -10 -27 -10
-1 2
Во вторую ячейку второй строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7
-1 ∙ 2 + 9 = 7
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17
-1 ∙ 7 - 10 = -17
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10
-1 ∙ (-17) - 27 = -10
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
-1 ∙ (-10) - 10 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 9x3 - 10x2 - 27x - 10 = (x + 1)(2x3 + 7x2 - 17x - 10)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 2x3 + 7x2 - 17x - 10.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Как мы уже выяснили, делителями числа -10 являются ±1, ±2, ±5, ±10.

1: 2 + 7 - 17 - 10 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -2 + 7 + 17 - 10 = 12 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 8 + 7 ∙ 4 - 17 ∙ 2 - 10 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11
2 ∙ 2 + 7 = 11
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11 5
2 ∙ 11 - 17 = 5
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11 5 0
2 ∙ 5 - 10 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

2x4 + 9x3 - 10x2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(2x2 + 11x + 5)

Многочлен 2x2 + 11x + 5 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа 5. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -5

2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11 5 0
-5 2
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 2, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11 5 0
-5 2 1
-5 ∙ 2 + 11 = 1
2 9 -10 -27 -10
-1 2 7 -17 -10 0
2 2 11 5 0
-5 2 1 0
-5 ∙ 1 + 5 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

2x4 + 9x3 - 10x2 - 27x - 10 = (x + 1)(x - 2)(x + 5)(2x - 1)

Комментарии

comments powered by HyperComments