Алгебра

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 6 являются ±1, ±2, ±3, ±6.

1: 4 - 19 + 19 + 6 = 10 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -4 - 19 - 19 + 6 = -36 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 4 ∙ 8 - 19 ∙ 4 + 19 ∙ 2 + 6 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

4 -19 19 6
2

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

4 -19 19 6
2 4
Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
4 -19 19 6
2 4 -11
2 ∙ 4 - 19 = -11
4 -19 19 6
2 4 -11 -3
2 ∙ (-11) + 19 = -3
4 -19 19 6
2 4 -11 -3 0
2 ∙ (-3) + 6 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

4x3 - 19x2 + 19x + 6 = (x - 2)(4x2 - 11x - 3)

И теперь, всего лишь, осталось найти корни квадратного уравнения

4x2 - 11x - 3 = 0
D = b2 - 4ac = (-11)2 - 4 ∙ 4 ∙ (-3) = 169
D > 0 ⇒ уравнение имеет 2 корня

x1,2 =  
-b ± √
D
 =  11 ± 13  = -0.25; 3
2a 2∙4

Мы нашли все корни уравнения:

x = 2; 3; -0.25

Комментарии

comments powered by HyperComments