Алгебра

Схема Горнера. Примеры

РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

x4 + 8x3 - 65x2 - 144x + 720 > 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 720 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ... Начнем их подставлять по-очереди:

1: 1 + 8 - 65 - 144 + 720 = 520 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 1 - 8 - 65 + 144 + 720 = 792 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 16 + 8 ∙ 8 - 65 ∙ 4 - 144 ∙ 2 + 720 = 252 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: 16 - 8 ∙ 8 - 65 ∙ 4 + 144 ∙ 2 + 720 = 700 ⇒ число -2 не является корнем многочлена

3: 81 + 8 ∙ 27 - 65 ∙ 9 - 144 ∙ 3 + 720 = 0 ⇒ число 3 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 3, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 3. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

1 8 -65 -144 720
3

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 3. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

1 8 -65 -144 720
3 1
Во вторую ячейку второй строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
1 8 -65 -144 720
3 1 11
3 ∙ 1 + 8 = 11
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32
3 ∙ 11 - 65 = -32
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240
3 ∙ (-32) - 144 = -240
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
3 ∙ (-240) + 720 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

x4 + 8x3 - 65x2 - 144x + 720 = (x - 3)(x3 + 11x2 - 32x - 240)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен x3 + 11x2 - 32x - 240.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа -240 являются ±1, ±2, ±4, ±5, ...

1: 1 + 11 - 32 - 240 = -260 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -1 + 11 + 32 - 240 = -198 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 8 + 11 ∙ 4 - 32 ∙ 2 - 240 = -252 ⇒ число 2 не является корнем многочлена

-2: -8 + 11 ∙ 4 + 32 ∙ 2 - 240 = -140 ⇒ число -2 не является корнем многочлена

3: 27 + 11 ∙ 9 - 32 ∙ 3 - 240 = -210 ⇒ число 3 не является корнем многочлена

-3: -27 + 11 ∙ 9 + 32 ∙ 3 - 240 = -72 ⇒ число -3 не является корнем многочлена

4: 64 + 11 ∙ 16 - 32 ∙ 4 - 240 = -128 ⇒ число 4 не является корнем многочлена

-4: -64 + 11 ∙ 16 + 32 ∙ 4 - 240 = 0 ⇒ число -4 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7
-4 ∙ 1 + 11 = 7
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7 -60
-4 ∙ 7 - 32 = -60
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7 -60 0
-4 ∙ (-60) - 240 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

x4 + 8x3 - 65x2 - 144x + 720 = (x - 3)(x + 4)(x2 + 7x - 60)

Многочлен x2 + 7x - 60 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -60. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число 5

1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7 -60 0
5 1
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 1, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7 -60 0
5 1 12
5 ∙ 1 + 7 = 12
1 8 -65 -144 720
3 1 11 -32 -240 0
-4 1 7 -60 0
5 1 12 0
5 ∙ 12 - 60 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

x4 + 8x3 - 65x2 - 144x + 720 = (x - 3)(x + 4)(x - 5)(x + 12)

А корнями многочлена являются:

x = 3; -4; 5; -12

Расставим корни на координатной оси Ox:

-12
-4
3
5
x

Ответ: x ∈ (-∞; -12)∪(-4; 3)∪(5; +∞)

Комментарии

comments powered by HyperComments