Алгебра

Схема Горнера. Примеры

РАЗЛОЖЕНИЕ МНОГОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ ПО СХЕМЕ ГОРНЕРА

5x5 - 2x4 - 25x3 + 10x2 + 20x - 8

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа -8 являются ±1, ±2, ±4, ±8. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 5 - 2 - 25 + 10 + 20 - 8 = 0 ⇒ число 1 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 1, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 1. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

5 -2 -25 10 20 -8
1

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 1. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Они считаются так:

5 -2 -25 10 20 -8
1 5
Во вторую ячейку второй строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки первой строки.
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3
1 ∙ 5 - 2 = 3
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22
1 ∙ 3 - 25 = -22
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12
1 ∙ (-22) + 10 = -12
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8
1 ∙ (-12) + 20 = 8
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
1 ∙ 8 - 8 = 0

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x5 - 2x4 - 25x3 + 10x2 + 20x - 8 = (x - 1)(5x4 + 3x3 - 22x2 - 12x + 8)

Но это еще не конец. Можно попробовать разложить таким же способом многочлен 5x4 + 3x3 - 22x2 - 12x + 8.

Опять ищем корень среди делителей свободного члена. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 + 3 - 22 - 12 + 8 = -18 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 5 - 3 - 22 + 12 + 8 = 0 ⇒ число -1 является корнем многочлена

Напишем найденный корень в нашу схему Горнера и начнем заполнять пустые ячейки:

5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5
Во вторую ячейку третьей строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки второй строки.
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2
-1 ∙ 5 + 3 = -2
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20
-1 ∙ (-2) - 22 = -20
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8
-1 ∙ (-20) - 12 = 8
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
-1 ∙ 8 + 8 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x5 - 2x4 - 25x3 + 10x2 + 20x - 8 = (x - 1)(x + 1)(5x3 - 2x2 - 20x + 8)

Теперь найдем корень многочлена 5x3 - 2x2 - 20x + 8. Делителями числа 8 являются ±1, ±2, ±4, ±8.

1: 5 - 2 - 20 + 8 = -9 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: -5 - 2 + 20 + 8 = 29 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 5 ∙ 8 - 2 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 8 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8
2 ∙ 5 - 8 = 8
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8 -4
2 ∙ 8 - 20 = -4
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8 -4 0
2 ∙ (-4) + 8 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на множители:

5x5 - 2x4 - 25x3 + 10x2 + 20x - 8 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(5x2 + 8x - 4)

Многочлен 5x2 + 8x - 4 тоже можно разложить на множители. Для этого можно решить квадратное уравнение через дискриминант, а можно поискать корень среди делителей числа -4. Так или иначе, мы придем к выводу, что корнем этого многочлена является число -2

5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8 -4 0
-2 5
Во вторую ячейку четвертой строки запишем число 5, просто перенеся его из соответствующей ячейки третьей строки.
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8 -4 0
-2 5 -2
-2 ∙ 5 + 8 = -2
5 -2 -25 10 20 -8
1 5 3 -22 -12 8 0
-1 5 -2 -20 8 0
2 5 8 -4 0
-2 5 -2 0
-2 ∙ (-2) - 4 = 0

Таким образом мы исходный многочлен разложили на линейные множители:

5x5 - 2x4 - 25x3 + 10x2 + 20x - 8 = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)(5x - 2)

А корнями многочлена являются:

x = ±1; ±2; 0.4

Комментарии

comments powered by HyperComments